Phương pháp phân bố moment cho dầm liên tục

Trong khi giải bài toán dầm liên tục hoặc một hệ liên kết phức tạp (nhà cao tầng) thì việc áp dụng máy tính sẽ giảm được thời gian rất nhiều, nhưng trong phương pháp này chúng tôi giới thiệu cách giải bằng tính toán tay thuần túy. Phương pháp sẽ giúp bạn giải nhanh bài toán dầm liên tục khi không cần sự giúp đỡ của máy tính. Nhưng trước hết chúng ta sẽ xem lại 32 công thức tính toán dầm ở bài trước.

Phương pháp này còn có tên khác là Hardy Cross (Do giáo sư Hardy Cross nghĩ ra năm 1930, mãi sau 30 năm sau nó được kiểm nghiệm đúng và được dùng phổ biến). Ý tưởng của phương pháp này dựa trên độ cứng của thanh tham gia liên kết. Chúng ta nhìn hình dưới đây.

Như hình trên với dầm có độ cứng không đổi, moment ở đầu gây ra một chuyển vị xoay 4EI/L. Hình 1 cho thấy hệ số chuyển tải được xác định cho việc moment gây ra chuyển vị xoay, do độ cứng không đổi nên việc gây ra chuyện vị xoay ở toàn bộ liên kết. Do một đầu là ngàm cứng nên tại đây chống lại chuyển vị xoay, do vậy tỷ số độ cứng giữa 2 đầu là 1/2. Độ cứng được tính như sau:

Giờ xét một ví dụ đơn giản như sau:

- AB, BC, CD cùng chiều dài: L = 10m

- Độ cứng cách thanh lần lượt là EI, 2EI, EI

- Lực tập trung là P = 10kN, lực phân bố là 1kN/m.

Lực và chiều dài thanh như hình vẽ. a = 3m

Việc đầu tiên để tính toán phân bố moment chúng ta tách các khớp ra, và coi nó thành một ngàm như hình vẽ dưới đây.

Khớp A, B và C được coi là một cứng, do 3 điểm này sẽ truyền moment từ thanh BC sang BA và CD.

Tách từng đoạn ra. AB, BC và CD (2 đầu ngàm.) nên ta sẽ tính được moment tại điểm A, B, C, D theo 32 công thức cơ bản.

$M _{AB} ^f = \frac{Pb^2a }{L^2} = \frac{10 \times 7^2 \times 3}{10^2} = + 14.700 \ kN\cdot m$

$M _{BA} ^f = - \frac{Pa^2b}{L^2} = - \frac{10 \times 3^2 \times 7}{10^2} = - 6.300 \ kN\cdot m$

$M _{BC} ^f = \frac{qL^2}{12} = \frac{1 \times 10^2}{12} = + 8.333 \ kN\cdot m$

$M _{CB} ^f = - \frac{qL^2}{12} = - \frac{1 \times 10^2}{12} = - 8.333 \ kN\cdot m$

$M _{CD} ^f = \frac{PL}{8} = \frac{10 \times 10}{8} = + 12.500 \ kN\cdot m$

$M _{DC} ^f = - \frac{PL}{8} = - \frac{10 \times 10}{8} = - 12.500 \ kN\cdot m$

Tính toán hệ số phân bố:

- Diểm bê nằm giữa 2 thanh có độ cứng khác nhau: K_BA sẽ khác K_BC.

K_BA = 3EI/L (do phía bên kia là khớp A). Chú ý nếu 2 thanh liền nhau có độ cứng như thi K = 0.5 ở 2 phía.

- K_BC = 4x2EI/L (do độ cứng thay BC là 2EI và sau khi ngàm B, C, như tính toán ở trên)

- K_CD = K_CB = 4EI/L

Hệ số phân bố độ cứng: DF = K1/(K1+K2)

$D_{BA} = \frac{\frac{3EI}{L}}{\frac{3EI}{L}+\frac{4\times 2EI}{L}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{3}{10}+\frac{8}{10}} = 0.2727$

$D_{BC} = \frac{\frac{4\times 2EI}{L}}{\frac{3EI}{L}+\frac{4\times 2EI}{L}} = \frac{\frac{8}{10}}{\frac{3}{10}+\frac{8}{10}} = 0.7273$

$D_{CB} = \frac{\frac{4\times 2EI}{L}}{\frac{4\times 2EI}{L}+\frac{4EI}{L}} = \frac{\frac{8}{10}}{\frac{8}{10}+\frac{4}{10}} = 0.6667$

$D_{CD} = \frac{\frac{4EI}{L}}{\frac{4\times 2EI}{L}+\frac{4EI}{L}} = \frac{\frac{4}{10}}{\frac{8}{10}+\frac{4}{10}} = 0.3333$

Độ cứng tại A và D lần lượt là

D A B = 1, D D C = 0

. (Theo đầu bài D là ngàm còn A là khớp ngoài).Khớp ngoài A: độ cứng là 0 vậy D_A (trái) = [0]/(0 + EI/L) = 0, D_{AB (phải)} = (EI/L)/(EI/L+0) = 1.

Tại điểm D: độ cứng là vô hạn( do tại ngàm không có chuyển vị xoay):

D_D (phải) = Vô hạn/(Vô hạn + EI/L) = 1

D_DC (Trái) = EI/L /(vô hạn + EI/L) = 0

Hệ số truyển tải moment là 1/2. Ta sẽ có bản phân phối moment theo độ cứng như sau:


	Khớp	A		Khớp	B		Khớp	C		Khớp	D
Hệ số D	0	1		0.2727	0.7273		0.6667	0.3333		0	1
Moment tại ngàm		14.700		-6.300	8.333		-8.333	12.500		-12.500
Bước 1		-14.700	→	-7.350 = (-14.7/2)
Bước 2				1.450	3.867	→	1.934
Bước 3					-2.034	←	-4.067	-2.034	→	-1.017
Bước 4				0.555	1.479	→	0.739
Bước 5					-0.246	←	-0.493	-0.246	→	-0.123
Bước 6				0.067	0.179	→	0.090
Bước 7					-0.030	←	-0.060	-0.030	→	-0.015
Bước 8				0.008	0.022	→	0.011
Bước 9					-0.004	←	-0.007	-0.004	→	-0.002
Bước 10				0.001	0.003
Tổng hợp moment		0		-11.569	11.569		-10.186	10.186		-13.657